FASORES

Fasores

Para una descripción completa del análisis de circuitos de corriente alterna no debemos olvidar la definición y explicación de los fasores.
Definición Un fasor es un vector rotatorio bidimensional que representa las relaciones de fase entre las tensiones aplicadas a las resistencias, bobinas y condensadores dentro de un circuito de corriente alterna.
Estos fasores giran en sentido antihorario con un a frecuencia angular ? que es la frecuencia angular de corriente. Tenemos varios fasores que utilizaremos en nuestro análisis de circuitos:
V_R--- Será el fasor que representa la tensión aplicada a la resistencia
V_C--- Será el fasor que representa la tensión aplicada al condensador
V_L--- Será el fasor que representa la tensión aplicada a la bobina
I--- Será el fasor que representa la corriente

Para las cálculos aritméticos en análisis fasorial se toman las cantidades como número complejos. Aquí se van a dar ciertas nociones sobre el calculo con numeros complejos así como algunas propiedades
Representación de un numero complejo en forma binomica y en forma polar:
Z= a+jb expresado en forma binomica donde el modulo y el argumento

|Z|= y el argumento arg Z=arctg b/a

A partir de este momento se indicara un numero complejo de forma polar y consideraremos el símbolo para expresar la parte del argumento del numero complejo.

NUMEROS COMPLEJOS

*Los números Complejos tienen la forma a+bj, donde a y b son números reales.

*El número Complejo está dividido en Parte Real, a , y Parte Imaginaria, bj.

-Si b=0 el número Complejo solo tiene Parte Real.

-Si a=0 solo existe Parte Imaginaria y se llama al número Imaginario Puro.

*Al número j se le llama Unidad Imaginaria.

*El número conjugado de un número Complejo a+bj se obtiene cambiando de signo la

parte imaginaria.

Ejemplo: Conjugado de (a+bj) = (a-bj)

Los números complejos se pueden expresar principalmente en:

Forma Binómica, Forma Polar y Forma Trigonométrica

Forma binómica

El número se expresa de la forma a+bj

Ejemplos: 3 + 5j, 1 + j, ...

Forma polar
El número se expresa con Módulo (r) y Argumento ()

Ejemplos:

forma trigonométrica

El número se expresa mediante el Módulo y el Seno y Coseno del Argumento

Ejemplos:

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Suma en forma binómica

(a+bj) + (c+dj) = (a+c) + (b+d)j.

Ejemplo: (4-2j) + (3+6j) = (7+4j)

Resta en forma binómica

(a+bj) - (c+dj) = (a-c) + (b-d)j.

Ejemplo: (4-2j) . (3+6j) = (12-(-12)) + (24-6)j = 24 + 18j

Multiplicación en forma binómica

(a+bj) . (c+dj) = (ac-bd) + (ad+bc)j.

Ejemplo: (4-2j) . (3+6j) = (12-(-12)) + (24-6)j = 24 + 18j

División en forma binómica

(a+bj) / (c+dj).

Para poder dividir 2 números complejos, primero se ha de eliminar la parte imaginaria

del número complejo del denominador. Para ello se multiplica el denominador por su

conjugado, c-dj.

Posteriormente se multiplicará el numerador por c-dj también.

Multiplicación del Denominador por el Conjugado

(c+dj) . (c-dj) = (c²+d²).

Multiplicación del Numerador por el Conjugado del Denominador

(a+bj) . (c-dj) = (ac - (-bd)) + (cb - ad)j

Resultado:

Ejemplo: (4-2i) / (3+6j)

Multiplicación del Denominador por su Conjugado

(3+6j) . (3-6j) = (3²+6²) = 45

Multiplicación del Numerador por el Conjugado del Denominador

(4-2j) . (3-6j) = (12-12) + (-6-24)j = 0 -30j

Resultado:

multiplicación en forma polar

La multiplicación de dos números complejos en forma polar teniendo:

módulo 1: r¹ , fase 1:

módulo 2: r2 , fase 2: ß

tiene la expresión:

Ejemplo: 4₄₅ . 2₃₀ = 4.2 _(45+30) = 8₇₅

división en forma polar

La división de dos números complejos en forma polar teniendo:

módulo 1: r¹ , fase 1:

módulo 2: r² , fase 2: ß

tiene la expresión:

Ejemplo: 4₄₅ / 2₃₀ = 4/2 _(45-30) = 2₁₅

EJEMPLO

En el circuito mostrado calcular la corriente en el condensador, el voltaje en el bobina y las potencias aparente y activa de todo el circuito. (Đ es el argumento del numero complejo en forma polar)

Transformar la fuente Vf = 100V * Sen (10t); Vf = 100 0° V.

Calcular impedancias para frecuencias de la fuente

w = 10 r/s Zc = -j (1 / w.c) = -j * 1/(10(r/s)*0.06F) = -j 1.66= 1.66 -90°

Z_R = R = 3Ω

Z_L = j w L = j* 10 (r/s) * 0.4 H = j 4 = 490°

Circuito para análisis fasorial:

La corriente en el condensador se puede hallar:

Aplicando la ley de Ohm:

I_c= V_c / Z_c = Vf / Z_c = (100 0° v)/(1.66 Ω -90°) = 100/1.66 (0° - (-90°)) A = 60A -90°

El voltaje en la bobina se puede hallar por divisor de voltaje:

V_L = Vf*Z_L /(Z_R + Z_L) = 100V 0° * 4 90°/(3 Ω + 4 Ω)

= 400 Ð (0 +90°) V Ω. /(5 Ω 53.1°)= 80 V (90° - 53.1°)

V_L =80 V 36.9°

Las respuestas obtenidas se pasan al dominio del tiempo.

Ic = 60 A 90° * i_c = 60 A * Sen (10t + 90°)

V_L = 80 v 90° * V_L = 80 v * Sen (10t + 36.9°)

Como se conoce el voltaje de la fuente, para hallar la potencia necesitamos calcular toda la corriente que consume el circuito, podemos hallar la impedancia equivalente del circuito y con la Ley de Ohm hallar corriente total, o podemos calcular la corriente que va por la rama RL y sumarla a la corriente del condensador.

De la segunda forma:

Z_CL = Z_R + Z_L = 3+ j4= 5 Ω 53.1°

Corriente en la rama RL:

I_RL = V_RL/Z_RL = Vt/Z_RL = 100V 0° /(5 53.1° )= 100A (0° - 53.1°)/5 = 20A - 53.1°

Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff:

I_T = I_c + I_RC = 60A 90° + 20A-53.1°

Se transforma a cartesianas:

I_T = j 60A + 12A - j 16A = 12 + j 44A = 45.6A 74.7°

En el dominio del tiempo: i_T = 45.6A * sen (10t + 74.7°)

Como el valor usado en la fuente es el valor pico, la respuesta de 45.6 A es la corriente pico, para calcular las potencias se necesitan los valores efectivos:

V_ef = V_p/ = 100V/ = 70.7 V_RMS

I_ef = I_p/ = 45.A/ = 32.24 V_RMS

Potencia aparente del circuito : S = V_ef * I_ef = 70.7 V*32.24A = 2279.7 VA

Potencia efectiva del circuito : P = V_ef * I_ef * cos q

q es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, el ángulo del voltaje es 0° y el de la corriente es 74.7°, entonces:

P = 70.7 V * 32.24 A * cos (74.7°) = 607.5