FASORES

Fasores

Para una descripción completa del análisis de circuitos de corriente alterna no debemos olvidar la definición y explicación de los fasores.
Definición Un fasor es un vector rotatorio bidimensional que representa las relaciones de fase entre las tensiones aplicadas a las resistencias, bobinas y condensadores dentro de un circuito de corriente alterna.
Estos fasores giran en sentido antihorario con un a frecuencia angular ? que es la frecuencia angular de corriente. Tenemos varios fasores que utilizaremos en nuestro análisis de circuitos:
V_R--- Será el fasor que representa la tensión aplicada a la resistencia
V_C--- Será el fasor que representa la tensión aplicada al condensador
V_L--- Será el fasor que representa la tensión aplicada a la bobina
I--- Será el fasor que representa la corriente

Para las cálculos aritméticos en análisis fasorial se toman las cantidades como número complejos. Aquí se van a dar ciertas nociones sobre el calculo con numeros complejos así como algunas propiedades
Representación de un numero complejo en forma binomica y en forma polar:
Z= a+jb expresado en forma binomica donde el modulo y el argumento

|Z|= y el argumento arg Z=arctg b/a

A partir de este momento se indicara un numero complejo de forma polar y consideraremos el símbolo para expresar la parte del argumento del numero complejo.

NUMEROS COMPLEJOS

*Los números Complejos tienen la forma a+bj, donde a y b son números reales.

*El número Complejo está dividido en Parte Real, a , y Parte Imaginaria, bj.

-Si b=0 el número Complejo solo tiene Parte Real.

-Si a=0 solo existe Parte Imaginaria y se llama al número Imaginario Puro.

*Al número j se le llama Unidad Imaginaria.

*El número conjugado de un número Complejo a+bj se obtiene cambiando de signo la

parte imaginaria.

Ejemplo: Conjugado de (a+bj) = (a-bj)

Los números complejos se pueden expresar principalmente en:

Forma Binómica, Forma Polar y Forma Trigonométrica

Forma binómica

El número se expresa de la forma a+bj

Ejemplos: 3 + 5j, 1 + j, ...

Forma polar
El número se expresa con Módulo (r) y Argumento ()

Ejemplos:

forma trigonométrica

El número se expresa mediante el Módulo y el Seno y Coseno del Argumento

Ejemplos:

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Suma en forma binómica

(a+bj) + (c+dj) = (a+c) + (b+d)j.

Ejemplo: (4-2j) + (3+6j) = (7+4j)

Resta en forma binómica

(a+bj) - (c+dj) = (a-c) + (b-d)j.

Ejemplo: (4-2j) . (3+6j) = (12-(-12)) + (24-6)j = 24 + 18j

Multiplicación en forma binómica

(a+bj) . (c+dj) = (ac-bd) + (ad+bc)j.

Ejemplo: (4-2j) . (3+6j) = (12-(-12)) + (24-6)j = 24 + 18j

División en forma binómica

(a+bj) / (c+dj).

Para poder dividir 2 números complejos, primero se ha de eliminar la parte imaginaria

del número complejo del denominador. Para ello se multiplica el denominador por su

conjugado, c-dj.

Posteriormente se multiplicará el numerador por c-dj también.

Multiplicación del Denominador por el Conjugado

(c+dj) . (c-dj) = (c²+d²).

Multiplicación del Numerador por el Conjugado del Denominador

(a+bj) . (c-dj) = (ac - (-bd)) + (cb - ad)j

Resultado:

Ejemplo: (4-2i) / (3+6j)

Multiplicación del Denominador por su Conjugado

(3+6j) . (3-6j) = (3²+6²) = 45

Multiplicación del Numerador por el Conjugado del Denominador

(4-2j) . (3-6j) = (12-12) + (-6-24)j = 0 -30j

Resultado:

multiplicación en forma polar

La multiplicación de dos números complejos en forma polar teniendo:

módulo 1: r¹ , fase 1:

módulo 2: r2 , fase 2: ß

tiene la expresión:

Ejemplo: 4₄₅ . 2₃₀ = 4.2 _(45+30) = 8₇₅

división en forma polar

La división de dos números complejos en forma polar teniendo:

módulo 1: r¹ , fase 1:

módulo 2: r² , fase 2: ß

tiene la expresión:

Ejemplo: 4₄₅ / 2₃₀ = 4/2 _(45-30) = 2₁₅

EJEMPLO

En el circuito mostrado calcular la corriente en el condensador, el voltaje en el bobina y las potencias aparente y activa de todo el circuito. (Đ es el argumento del numero complejo en forma polar)

Transformar la fuente Vf = 100V * Sen (10t); Vf = 100 0° V.

Calcular impedancias para frecuencias de la fuente

w = 10 r/s Zc = -j (1 / w.c) = -j * 1/(10(r/s)*0.06F) = -j 1.66= 1.66 -90°

Z_R = R = 3Ω

Z_L = j w L = j* 10 (r/s) * 0.4 H = j 4 = 490°

Circuito para análisis fasorial:

La corriente en el condensador se puede hallar:

Aplicando la ley de Ohm:

I_c= V_c / Z_c = Vf / Z_c = (100 0° v)/(1.66 Ω -90°) = 100/1.66 (0° - (-90°)) A = 60A -90°

El voltaje en la bobina se puede hallar por divisor de voltaje:

V_L = Vf*Z_L /(Z_R + Z_L) = 100V 0° * 4 90°/(3 Ω + 4 Ω)

= 400 Ð (0 +90°) V Ω. /(5 Ω 53.1°)= 80 V (90° - 53.1°)

V_L =80 V 36.9°

Las respuestas obtenidas se pasan al dominio del tiempo.

Ic = 60 A 90° * i_c = 60 A * Sen (10t + 90°)

V_L = 80 v 90° * V_L = 80 v * Sen (10t + 36.9°)

Como se conoce el voltaje de la fuente, para hallar la potencia necesitamos calcular toda la corriente que consume el circuito, podemos hallar la impedancia equivalente del circuito y con la Ley de Ohm hallar corriente total, o podemos calcular la corriente que va por la rama RL y sumarla a la corriente del condensador.

De la segunda forma:

Z_CL = Z_R + Z_L = 3+ j4= 5 Ω 53.1°

Corriente en la rama RL:

I_RL = V_RL/Z_RL = Vt/Z_RL = 100V 0° /(5 53.1° )= 100A (0° - 53.1°)/5 = 20A - 53.1°

Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff:

I_T = I_c + I_RC = 60A 90° + 20A-53.1°

Se transforma a cartesianas:

I_T = j 60A + 12A - j 16A = 12 + j 44A = 45.6A 74.7°

En el dominio del tiempo: i_T = 45.6A * sen (10t + 74.7°)

Como el valor usado en la fuente es el valor pico, la respuesta de 45.6 A es la corriente pico, para calcular las potencias se necesitan los valores efectivos:

V_ef = V_p/ = 100V/ = 70.7 V_RMS

I_ef = I_p/ = 45.A/ = 32.24 V_RMS

Potencia aparente del circuito : S = V_ef * I_ef = 70.7 V*32.24A = 2279.7 VA

Potencia efectiva del circuito : P = V_ef * I_ef * cos q

q es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, el ángulo del voltaje es 0° y el de la corriente es 74.7°, entonces:

P = 70.7 V * 32.24 A * cos (74.7°) = 607.5

LEY DE OHM

La Ley de Ohm se puede entender con facilidad si se analiza un circuito donde están en serie, una fuente de voltaje (una batería de 12 voltios) y un resistor de 6 ohms (ohmios)

Se puede establecer una relación entre el voltaje de la batería, el valor del resistor y la corriente que entrega la batería y que circula a través del resistor.

Esta relación es: I = V / R y se conoce como la Ley de Ohm

Entonces la corriente que circula por el circuito (por el resistor) es: I = 12 Voltios / 6 ohms = 2 Amperios.

De la misma fórmula se puede despejar el voltaje en función de la corriente y la resistencia, entonces la Ley de Ohm queda: V = I x R. Entonces, si se conoce la corriente y el valor del resistor se puede obtener el voltaje entre los terminales del resistor, así: V = 2 Amperios x 6 ohms = 12 Voltios

Al igual que en el caso anterior, si se despeja la resistencia en función del voltaje y la corriente, se obtiene la Ley de Ohm de la forma: R = V / I.

Entonces si se conoce el voltaje en el resistor y la corriente que pasa por el se obtiene: R = 12 Voltios / 2 Amperios = 6 ohms








La Ley de Ohm establece la relación que existe entre la corriente en un circuito y la diferencia de potencial (voltaje) aplicado a dicho circuito.

Esta relación es una función de una constante a la que se le llamó resistencia.

FIGURE 1. LEY DE OHM

La 1ª Ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor cualquier bucle cerrado es igual a cero.

La suma incluye fuentes independientes de tensión, fuentes dependientes de tensión y caídas de tensión a través de resistores.

Sumatorio de Fuentes de Tensión = Sumatorio de caídas de tensión

FIGURE 2. 1ª LEY DE KIRCHOFF

La 2ª Ley deKirchoff establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran en un nudo es igual a cero.

Esta suma incluye las fuentes de corrientes independientes, las fuentes de corriente dependientes y las corrientes a través de los componentes.

La suma de corrientes que entran en un nudo es igual a cero FIGURE 3. 2º LEY DE KIRCHOFF

Divisores de Tensión y Corriente

Los divisores de Tensión se usan frecuentemente en el diseño de circuitos porque son útiles para generar un voltaje de referencia, para la polarización de los circuitos activos, y actuando como elementos de realimentación.

Los divisores de corriente se ven con menos frecuencia, pero son lo suficientemente importantes como para que los estudiemos.

Las ecuaciones para el divisor de tensión, en donde suponenos que no hay ninguna carga conectada a nuestro circuito se ven en la Figura 4.

FIGURE 4. DIVISOR DE TENSION

Las ecuaciones del divisor de corriente, suponiendo que la carga es sólamente R2, vienen dadas en la Figura 5.

FIGURE 5. DIVISOR DE CORRIENTE

Teoremas de Thévenin y Norton

Hay situaciones donde es más sencillo concentrar parte del circuito en un sólo componente antes que escribir las ecuaciones para el circuito completo.

Cuando la fuente de entrada es un generador de tensión, se utiliza el teorema de Thévenin para aislar los componentes de interés, pero si la entrada es un generadorde corriente se utiliza el teorema de Norton.

5.2 TEOREMA DE THEVENIN

Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales que:

• La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en dichos terminales
• La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente

Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original) y miramos atrás, hacia la izquierda.

FIGURE 6. CIRCUITO ORIGINAL

En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensión equivalente Thévenin V_th que coincide con la tensión en bornas de la resistencia R2 y cuyo valor es :

El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos hacer lo supondremos en corcocircuito y ¿ que es lo que vemos ?

Pues si miráis la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo.
Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada impedancia equivalente, Z _th. vale:

El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el valor Vo

FIGURE 7. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN

La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.

FIGURE 8. ANALISIS DEL MISMO CIRCUITO de
LA FIGURA 6 PERO APLICANDO LAS ECUACIONES POR MALLAS

Así pues, hemos observado que, aplicando el Teorema de Thévenin para el análisis de ciruitos, seremos capaces de simplificar nuestros cálculos, lo que nos será siempre muy útil, sobre todo, en otros circuitos más complejos.

Superposición

El principio de superposición establece que la ecuación para cada generador independiente puede calcularse separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando usemos dicho principio de superposición la ecuación para cada generador se calcula con los otros generadores (si son de tensión: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los generadores se acumulan para obtener la respuesta final.

FIGURE 9. EJEMPLO DE SUPERPOSICION

En primer lugar se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V1, suponiendo que el generador V2 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V01 (cuando V2 = 0)

Seguidamente se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V2, suponiendo que el generador V1 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V02 (cuando V1 = 0)

El valor de Vo será igual a la suma de los valores V01 + V02 obtenidos anteriormente.

5.3 TEOREMA DE NORTON

Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que:

• La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión.
• La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thévenin)

FIGURA 10 CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON

Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedará el sigiente circuito:

Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) Ith = V / R1 la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de R1 y R2
Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2)

5.4 EQUIVALENCIA ENTRE THEVENIN Y NORTON

Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente :

Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que sera la corriente : I_th = 10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos quedará el circuito equivalente Norton de la derecha